سوال ۱۳ — سؤال ۱۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۵، نوبت عصر

$f'(x) = 3x^2 + 2ax$

$f'(-2) = 0 \Rightarrow 12 - 4a = 0 \Rightarrow a = 3$

$f(-2) = 1 \Rightarrow -8 + 4a + b = 1 \Rightarrow b = -3$

نقطهٔ $(-2, 1)$ دو اطلاع به ما می‌دهد:

1. چون اکسترمم نسبیِ تابعی مشتق‌پذیر است، مشتق در آن صفر است: $f'(-2) = 0$.
2. چون نقطه روی نمودار است: $f(-2) = 1$.

مشتق تابع:

$$f'(x) = 3x^2 + 2ax$$

از شرط اول:

$$f'(-2) = 3(4) + 2a(-2) = 12 - 4a = 0 \Rightarrow a = 3$$

از شرط دوم، با $a = 3$:

$$f(-2) = (-8) + 3(4) + b = 1 \Rightarrow 4 + b = 1 \Rightarrow b = -3$$

(بررسی: با $a = 3$، $f'(x) = 3x(x + 2)$ که در $x = -2$ از مثبت به منفی تغییر علامت می‌دهد؛ پس $(-2, 1)$ واقعاً ماکزیمم نسبی است.)