سوال ۱ — سؤال ۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۵، نوبت عصر

الف) درست — ب) نادرست — پ) درست

الف) درست. نقطهٔ $(x_0, y_0)$ روی نمودار $y = f(x)$ به نقطهٔ $\left(\frac{x_0}{k}, y_0\right)$ روی نمودار $y = f(kx)$ می‌رود. وقتی $0 < k < 1$ باشد، $\frac{1}{k} > 1$ است؛ پس طول همهٔ نقطه‌ها در $\frac{1}{k}$ ضرب می‌شود و نمودار در راستای افقی باز (منبسط) می‌شود. مثلاً نمودار $y = f\left(\frac{x}{2}\right)$ دو برابر پهن‌تر از نمودار $y = f(x)$ است.

ب) نادرست. آهنگ تغییر متوسط روی یک بازه یک عدد است:

اگر تابع صعودی باشد، با بزرگ شدن $x$ مقدار $f$ کم نمی‌شود؛ پس صورت و مخرج این کسر هم‌علامت‌اند (یا صورت صفر است) و آهنگ تغییر متوسط همیشه نامنفی است. اما این به آن معنا نیست که آهنگ تغییر متوسط «صعودی» باشد، یعنی از بازه‌ای به بازهٔ بعد بیشتر شود. مثلاً $f(x) = \sqrt{x}$ صعودی است، ولی:

آهنگ تغییر متوسط کم شده است؛ پس عبارت نادرست است.

پ) درست. یک قضیهٔ مهم کتاب می‌گوید: اگر تابعی در $x = a$ مشتق‌پذیر باشد، در آن نقطه پیوسته هم هست. پس اگر تابع در $x = a$ پیوسته نباشد، نمی‌تواند در آن نقطه مشتق‌پذیر باشد. (برعکسِ این درست نیست: $f(x) = |x|$ در صفر پیوسته است ولی مشتق‌پذیر نیست.)