سوال ۱۷ — سؤال ۱۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۵، نوبت عصر

اگر $A$ پیشامد زن بودن، $B$ پیشامد مرد بودن و $C$ پیشامد داشتن تحصیلات تکمیلی باشد:

$P(C) = P(A)\,P(C \mid A) + P(B)\,P(C \mid B) = \frac{40}{100} \times \frac{10}{100} + \frac{60}{100} \times \frac{15}{100} = \frac{13}{100} = 0.13$

هر بزرگسال یا زن است یا مرد (و نه هر دو)؛ پس از قانون احتمال کل استفاده می‌کنیم. پیشامدها را نام‌گذاری می‌کنیم:

• $A$: فرد انتخاب‌شده زن است؛ $P(A) = 0.4$
• $B$: فرد انتخاب‌شده مرد است؛ $P(B) = 0.6$
• $C$: فرد تحصیلات تکمیلی دارد.

«۱۰ درصد زنان» یعنی احتمال داشتن تحصیلات تکمیلی به شرط زن بودن: $P(C \mid A) = 0.1$؛ و به همین ترتیب $P(C \mid B) = 0.15$.

نمودار درختی این وضعیت:

احتمال هر مسیر، حاصل‌ضرب احتمال‌های روی شاخه‌های آن است و احتمال $C$ مجموع دو مسیر:

$$P(C) = P(A)\,P(C \mid A) + P(B)\,P(C \mid B)$$ $$P(C) = 0.4 \times 0.1 + 0.6 \times 0.15 = 0.04 + 0.09 = 0.13$$

پس احتمال اینکه فرد انتخاب‌شده تحصیلات تکمیلی داشته باشد $0.13$، یعنی $13$ درصد، است.