سوال ۹ — سؤال ۹ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۵، نوبت صبح

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(4 + \Delta x) - 3}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(4 + \Delta x) - f(4)}{\Delta x} = f'(4) = 5$$

شیب خط مماس $= 5$

$$y - 3 = 5(x - 4) \Rightarrow y = 5x - 17$$

گام ۱ — شناختن مشتق: نقطهٔ $A(4, 3)$ روی نمودار $f$ است؛ پس $f(4) = 3$. یعنی عدد $3$ در صورت کسر همان $f(4)$ است:

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(4 + \Delta x) - f(4)}{\Delta x} = 5$$

این دقیقاً تعریف مشتق تابع در $x = 4$ است؛ بنابراین $f'(4) = 5$.

گام ۲ — شیب مماس: مشتق تابع در یک نقطه، شیب خط مماس بر نمودار در آن نقطه است؛ پس شیب مماس در $A$ برابر $m = 5$ است.

گام ۳ — معادلهٔ خط: معادلهٔ خطی که از نقطهٔ $(x_0, y_0)$ با شیب $m$ می‌گذرد، $y - y_0 = m(x - x_0)$ است:

$$y - 3 = 5(x - 4) \Rightarrow y = 5x - 20 + 3 \Rightarrow y = 5x - 17$$