سوال ۸ — سؤال ۸ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۵، نوبت صبح

الف)

$$\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} \times \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (\sqrt{x} + 1) = 2$$

(یا: $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} - 1} = \lim_{x \to 1} (\sqrt{x} + 1) = 2$)

ب)

$$\lim_{x \to 4^-} \frac{3 - 4}{|x - 4|} = \lim_{x \to 4^-} \frac{-1}{|x - 4|} = -\infty$$

پ)

$$\lim_{x \to -\infty} \left(5 + \frac{3}{x^4}\right) = 5 + \frac{3}{+\infty} = 5 + 0 = 5$$

الف) با گذاشتن $x = 1$ هم صورت و هم مخرج صفر می‌شوند (حالت $\frac{0}{0}$)؛ پس باید عامل صفرکننده را حذف کنیم. صورت و مخرج را در مزدوج مخرج، یعنی $\sqrt{x} + 1$، ضرب می‌کنیم:

$$\frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} \times \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x})^2 - 1} = \frac{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)}{x - 1}$$

چون $x \to 1$ است ولی $x \ne 1$، می‌توانیم $x - 1$ را ساده کنیم:

$$\lim_{x \to 1} (\sqrt{x} + 1) = \sqrt{1} + 1 = 2$$

(راه کوتاه‌تر: $x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$ و بعد $\sqrt{x} - 1$ را ساده می‌کنیم.)

ب) وقتی $x \to 4^-$ است، $x$ کمی کمتر از $4$ است (مثلاً $3.99$)؛ پس $[x] = 3$ و صورت برابر $3 - 4 = -1$ می‌شود.

مخرج $|x - 4|$ به صفر نزدیک می‌شود و چون قدرمطلق است، همیشه مثبت است؛ یعنی مخرج به $0^+$ میل می‌کند:

$$\lim_{x \to 4^-} \frac{-1}{|x - 4|} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$$

(عدد منفیِ ثابت تقسیم بر عددی مثبت و بسیار کوچک، عددی منفی و بسیار بزرگ می‌شود.)

پ) وقتی $x \to -\infty$ است، $x^4$ (توان زوج) مثبت است و به $+\infty$ میل می‌کند؛ پس کسر $\dfrac{3}{x^4}$ به صفر میل می‌کند:

$$\lim_{x \to -\infty} \left(5 + \frac{3}{x^4}\right) = 5 + 0 = 5$$