سوال ۱۴ — سؤال ۱۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۵، نوبت صبح

$$C'(t) = \frac{t^3 + 16 - 3t^3}{(t^3 + 16)^2} = 0 \Rightarrow 16 - 2t^3 = 0 \Rightarrow t = 2$$

پس ۲ ساعت پس از تزریق، غلظت دارو بیشترین مقدار را دارد.

برای پیدا کردن بیشترین مقدار، مشتق را حساب می‌کنیم، نقطه‌های بحرانی را پیدا می‌کنیم و با جدول تغییرات، نوع آن‌ها را مشخص می‌کنیم. چون $t$ زمان پس از تزریق است، فقط $t \ge 0$ را بررسی می‌کنیم.

گام ۱ — مشتق: با قاعدهٔ تقسیم $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - v'u}{v^2}$ و $u = t$، $v = t^3 + 16$:

$$C'(t) = \frac{1 \times (t^3 + 16) - 3t^2 \times t}{(t^3 + 16)^2} = \frac{16 - 2t^3}{(t^3 + 16)^2}$$

گام ۲ — ریشهٔ مشتق: مخرج همیشه مثبت است؛ پس علامت و ریشهٔ مشتق فقط به صورت بستگی دارد:

$$16 - 2t^3 = 0 \Rightarrow t^3 = 8 \Rightarrow t = 2$$

گام ۳ — علامت مشتق: برای $0 < t < 2$، مثلاً $t = 1$، صورت $16 - 2 = 14$ مثبت است؛ پس $C'$ مثبت و $C$ صعودی است. برای $t > 2$، مثلاً $t = 3$، صورت $16 - 54$ منفی است؛ پس $C'$ منفی و $C$ نزولی است.

گام ۴ — جدول تغییرات:

غلظت تا $t = 2$ زیاد و بعد از آن کم می‌شود؛ پس بیشترین غلظت در $t = 2$ است و مقدار آن:

$$C(2) = \frac{2}{2^3 + 16} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$$

(در $t = 0$ غلظت $C(0) = 0$ است و وقتی $t$ خیلی بزرگ شود، مخرج خیلی سریع‌تر از صورت بزرگ می‌شود و غلظت به صفر نزدیک می‌شود.)

بنابراین ۲ ساعت پس از تزریق، غلظت دارو در خون بیشترین مقدار ممکن را دارد.