سوال ۶ — سؤال ۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۵، نوبت صبح

$$T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{\pi}{4} \Rightarrow |b| = 8$$ $$\min(f) = -|a| + c = -|-2| + c = -3 \Rightarrow c = -1$$ $$\max(f) = |a| + c = |-2| + (-1) = 1$$

(روش دوم: $-1 \le \cos(8x) \le 1$، پس برد $f$ بازهٔ $[-2 + c, 2 + c]$ است؛ $-2 + c = -3 \Rightarrow c = -1$ و $\max(f) = 2 + c = 1$.)

تابع به شکل $f(x) = a\cos(bx) + c$ است با $a = -2$.

گام ۱ — دورهٔ تناوب: دورهٔ تناوب $\cos(bx)$ برابر $\dfrac{2\pi}{|b|}$ است و ضریب $a$ و عدد $c$ آن را تغییر نمی‌دهند:

$$\frac{2\pi}{|b|} = \frac{\pi}{4} \Rightarrow |b| = \frac{2\pi \times 4}{\pi} = 8$$

گام ۲ — پیدا کردن $c$: مقدار $\cos(bx)$ بین $-1$ و $1$ است. با ضرب در $-2$ (که جهت نامساوی را برمی‌گرداند):

$$-1 \le \cos(8x) \le 1 \Rightarrow -2 \le -2\cos(8x) \le 2$$

با اضافه کردن $c$:

$$-2 + c \le f(x) \le 2 + c$$

کمترین مقدار تابع $-2 + c$ است و طبق صورت سؤال برابر $-3$:

$$-2 + c = -3 \Rightarrow c = -1$$

گام ۳ — ماکزیمم:

$$\max(f) = 2 + c = 2 + (-1) = 1$$