سوال ۱ — سؤال ۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۵، نوبت صبح

الف) درست — ب) نادرست — پ) نادرست — ت) درست

الف) درست. این دقیقاً تعریف تابع اکیداً نزولی است: هرچه $x$ بزرگ‌تر شود، مقدار تابع کوچک‌تر می‌شود؛ یعنی از $x_1 < x_2$ نتیجه شود $f(x_1) > f(x_2)$.

ب) نادرست. دو بار مشتق می‌گیریم:

پ) نادرست. برای رد کردن این جمله کافی است یک مثال بیاوریم. تابع $f(x) = x^2$ را در $a = 0$ در نظر بگیرید:

پس چنین تابعی وجود دارد (نمودار $x^2$ در مبدأ هم از محور $x$ می‌گذرد و هم مماس افقی دارد).

ت) درست. اگر فاصلهٔ مرکز دایره از خط کمتر از شعاع باشد، خط از درون دایره می‌گذرد و دایره را در دو نقطه قطع می‌کند؛ یعنی خط و دایره متقاطع‌اند. (اگر فاصله برابر شعاع باشد خط مماس است و اگر بیشتر باشد، خط دایره را قطع نمی‌کند.)