سوال ۱۵ — سؤال ۱۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۵، نوبت صبح

$$2c = 8 \Rightarrow c = 4$$ $$2b = 6 \Rightarrow b = 3 \quad , \quad a^2 = b^2 + c^2 \Rightarrow a^2 = 3^2 + 4^2 \Rightarrow a = 5$$ $$e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}$$

در بیضی، $a$ نصف قطر بزرگ، $b$ نصف قطر کوچک و $c$ نصف فاصلهٔ دو کانون است و این سه با رابطهٔ $a^2 = b^2 + c^2$ به هم وصل‌اند. خروج از مرکز برابر $e = \dfrac{c}{a}$ است.

گام ۱ — پیدا کردن $c$: هر دو کانون عرض $-4$ دارند، پس روی یک خط افقی‌اند و فاصلهٔ آن‌ها برابر اختلاف طول‌هاست:

$$FF' = 2c = 10 - 2 = 8 \Rightarrow c = 4$$

گام ۲ — پیدا کردن $b$: طول قطر کوچک $2b$ است:

$$2b = 6 \Rightarrow b = 3$$

گام ۳ — پیدا کردن $a$:

$$a^2 = b^2 + c^2 = 9 + 16 = 25 \Rightarrow a = 5$$

گام ۴ — خروج از مرکز:

$$e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5} = 0.8$$

(همان‌طور که انتظار داریم، خروج از مرکز بیضی عددی بین صفر و یک است.)