سوال ۵ — سؤال ۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۵، نوبت صبح

$$y = (x - 1)^2 \Rightarrow \pm\sqrt{y} = x - 1 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{y} \xrightarrow{x \le 1} x = 1 - \sqrt{y}$$ $$f^{-1}(x) = 1 - \sqrt{x}$$

(یا: جای $x$ و $y$ را عوض کنیم: $x = (y - 1)^2 \Rightarrow y = 1 \pm \sqrt{x}$ و چون $y \le 1$، $f^{-1}(x) = 1 - \sqrt{x}$.)

برای پیدا کردن وارون، $y = f(x)$ را می‌نویسیم و $x$ را بر حسب $y$ به دست می‌آوریم:

$$y = (x - 1)^2$$

از دو طرف جذر می‌گیریم؛ جذر یک مربع، دو حالت مثبت و منفی دارد:

$$x - 1 = \pm\sqrt{y} \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{y}$$

حالا شرط دامنه به کار می‌آید: $x \le 1$ یعنی $x - 1 \le 0$؛ پس $x - 1$ باید برابر مقدار منفی یعنی $-\sqrt{y}$ باشد:

$$x = 1 - \sqrt{y}$$

در پایان جای $x$ و $y$ را عوض می‌کنیم تا ضابطهٔ وارون بر حسب $x$ نوشته شود:

$$f^{-1}(x) = 1 - \sqrt{x}$$

برد $f$ (یعنی مقدارهای $(x-1)^2$) اعداد نامنفی است؛ پس دامنهٔ $f^{-1}$ هم $x \ge 0$ است که با وجود $\sqrt{x}$ جور است.

بررسی: مثلاً $f(-1) = (-2)^2 = 4$ و $f^{-1}(4) = 1 - 2 = -1$؛ درست برگشتیم.