سوال ۱۳ — سؤال ۱۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۵، نوبت صبح

الف) $4$ — ب) $-2$ — پ) ۴ نقطه — ت) منفی

دامنهٔ تابع بازهٔ $[-3, 3]$ است: نمودار از نقطهٔ $(-3, 5)$ شروع می‌شود و در نقطهٔ $(3, -5)$ تمام می‌شود.

الف) $4$. در $x = 0$ نمودار یک قله دارد: مقدار تابع آنجا $4$ است و در نقطه‌های اطرافش (دو طرف) کمتر از $4$ است؛ پس ماکزیمم نسبی تابع $4$ است. نقطهٔ $(-3, 5)$ با اینکه بالاتر است، ابتدای دامنه است و تابع در سمت چپ آن تعریف نشده؛ پس طبق تعریف کتاب، ماکزیمم نسبی به شمار نمی‌آید.

ب) $-2$. در $x = -2$ نمودار یک «دره» دارد: $f(-2) = 0$ و در نقطه‌های اطرافش مقدار تابع بیشتر از صفر است؛ پس مینیمم نسبی در $x = -2$ است. (در $x = 2$ هم نمودار از محور $x$ می‌گذرد، ولی تابع آنجا همچنان در حال پایین آمدن است و مینیمم نیست.)

پ) ۴ نقطه. نقطهٔ بحرانی، نقطه‌ای از دامنه است که مشتق در آن صفر باشد یا وجود نداشته باشد:

• $x = 0$: مماس افقی است و $f'(0) = 0$.
• $x = -2$: نمودار آنجا شکستگی (گوشهٔ تیز) دارد و مشتق وجود ندارد.
• $x = -3$ و $x = 3$: دو سر دامنه‌اند؛ تابع فقط در یک طرف آن‌ها تعریف شده، پس مشتق (دوطرفه) در آن‌ها وجود ندارد.

بنابراین تابع ۴ نقطهٔ بحرانی دارد: $x = -3,\ -2,\ 0,\ 3$.

ت) منفی. در فاصلهٔ $[0, 2]$ نمودار از قلهٔ $(0, 4)$ پایین می‌آید تا $(2, 0)$؛ یعنی تابع در این فاصله نزولی است و شیب خط‌های مماس منفی است. پس علامت مشتق منفی است (فقط در خودِ $x = 0$ که مماس افقی است، مشتق صفر است).