سوال ۷ — سؤال ۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۵، نوبت صبح

$2\cos x - 3 = 0 \Rightarrow \cos x = \dfrac{3}{2}$ که غیرقابل قبول است.

$$\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3} \Rightarrow \begin{cases} x = 2k\pi + \dfrac{\pi}{3} \\[2mm] x = 2k\pi + \pi - \dfrac{\pi}{3} = 2k\pi + \dfrac{2\pi}{3} \end{cases} \quad k \in \mathbb{Z}$$

حاصل‌ضرب دو عبارت وقتی صفر است که دست‌کم یکی از آن‌ها صفر باشد؛ پس هر پرانتز را جداگانه برابر صفر می‌گذاریم.

پرانتز اول:

$$2\cos x - 3 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{3}{2}$$

مقدار کسینوس همیشه بین $-1$ و $1$ است و $\dfrac{3}{2} > 1$؛ پس این معادله جواب ندارد (غیرقابل قبول).

پرانتز دوم:

$$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

می‌دانیم $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$؛ پس معادله به شکل $\sin x = \sin\dfrac{\pi}{3}$ درمی‌آید. جواب کلی معادلهٔ $\sin x = \sin \alpha$ این است:

$$x = 2k\pi + \alpha \quad \text{یا} \quad x = 2k\pi + \pi - \alpha \qquad (k \in \mathbb{Z})$$

با $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$:

$$x = 2k\pi + \frac{\pi}{3} \qquad x = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{3} = 2k\pi + \frac{2\pi}{3} \qquad k \in \mathbb{Z}$$