سوال ۱۶ — سؤال ۱۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۵، نوبت صبح

$$\left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right) = (2, 0) \quad , \quad r = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 - 4c} = \frac{1}{2}\sqrt{(-4)^2 + (0)^2 - 4(-5)} = 3$$

(روش دوم: $(x - 2)^2 + y^2 = 9 \Rightarrow r = 3$ و $O = (2, 0)$)

روش اول — با فرمول: معادلهٔ گستردهٔ دایره به شکل $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ است. در این معادله:

$$a = -4 \qquad b = 0 \qquad c = -5$$

مرکز دایره:

$$O = \left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right) = \left(-\frac{-4}{2}, -\frac{0}{2}\right) = (2, 0)$$

شعاع دایره:

$$r = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 - 4c} = \frac{1}{2}\sqrt{16 + 0 + 20} = \frac{1}{2}\sqrt{36} = \frac{1}{2} \times 6 = 3$$

روش دوم — مربع کامل: جمله‌های $x$ را کنار هم می‌گذاریم و مربع کامل می‌سازیم:

$$x^2 - 4x + y^2 = 5 \Rightarrow (x^2 - 4x + 4) + y^2 = 5 + 4 \Rightarrow (x - 2)^2 + y^2 = 9$$

این معادلهٔ استاندارد دایره با مرکز $(2, 0)$ و شعاع $\sqrt{9} = 3$ است.