سوال ۱۰ — سؤال ۱۰ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۵، نوبت صبح

$$(fog)'(1) = g'(1)\, f'(g(1)) \quad , \quad g'(x) = 2x$$ $$(fog)'(1) = 2 \times f'(0) = 2 \times 8 = 16$$

طبق قاعدهٔ زنجیره‌ای برای مشتق تابع مرکب:

$$(fog)'(x) = g'(x)\, f'(g(x))$$

پس برای $x = 1$ به دو عدد نیاز داریم: $g(1)$ و $g'(1)$.

$$g(1) = 1^2 - 1 = 0$$ $$g'(x) = 2x \Rightarrow g'(1) = 2$$

حالا جای‌گذاری می‌کنیم؛ $f'(g(1)) = f'(0) = 8$ از صورت سؤال داده شده است:

$$(fog)'(1) = g'(1)\, f'(g(1)) = 2 \times f'(0) = 2 \times 8 = 16$$