سوال ۱۷ — سؤال ۱۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۵، نوبت صبح

اگر $A$ پیشامد انتخاب بستهٔ سؤالات ریاضی، $B$ پیشامد انتخاب بستهٔ سؤالات ادبیات و $C$ پیشامد برنده شدن دانش‌آموز باشد:

$$P(C) = P(A) \times P(C|A) + P(B) \times P(C|B)$$ $$P(C) = \frac{1}{3} \times \frac{60}{100} + \frac{2}{3} \times \frac{80}{100} = \frac{11}{15} \approx 0.73$$

دانش‌آموز حتماً یکی از دو بسته را می‌گیرد و این دو حالت با هم رخ نمی‌دهند؛ پس برای احتمال برنده شدن از قانون احتمال کل استفاده می‌کنیم.

پیشامدها را نام‌گذاری می‌کنیم:

• $A$: بستهٔ ریاضی را به او بدهند؛ $P(A) = \dfrac{1}{3}$
• $B$: بستهٔ ادبیات را به او بدهند؛ $P(B) = \dfrac{2}{3}$
• $C$: دانش‌آموز برنده شود؛ $P(C|A) = \dfrac{60}{100}$ و $P(C|B) = \dfrac{80}{100}$

نمودار درختی مسئله:

قانون احتمال کل می‌گوید احتمال برنده شدن برابر است با مجموع «احتمال هر شاخه × احتمال برنده شدن در آن شاخه»:

$$P(C) = P(A)\,P(C|A) + P(B)\,P(C|B)$$ $$P(C) = \frac{1}{3} \times \frac{60}{100} + \frac{2}{3} \times \frac{80}{100} = \frac{60}{300} + \frac{160}{300} = \frac{220}{300} = \frac{11}{15}$$

یعنی احتمال برنده شدن دانش‌آموز $\dfrac{11}{15}$، تقریباً $0.73$ (حدود ۷۳ درصد) است.