سوال ۲ — سؤال ۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۵، نوبت صبح

الف) $\cos(40^\circ)$ — ب) نیمساز ربع اول و سوم — پ) بی‌شمار — ت) بحرانی

الف) طبق اتحاد کسینوس دو برابر کمان:

با $\alpha = 20^\circ$:

ب) اگر نقطهٔ $(a, b)$ روی نمودار $f$ باشد، نقطهٔ $(b, a)$ روی نمودار $f^{-1}$ است. این دو نقطه نسبت به خط $y = x$، یعنی نیمساز ربع اول و سوم، قرینهٔ یکدیگرند.

پ) تابع ثابت $f(x) = 7$ در هر نقطهٔ $x_0$ مقداری برابر با همهٔ نقطه‌های اطرافش دارد؛ پس در یک بازهٔ باز دور $x_0$ داریم $f(x) \le f(x_0)$. بنابراین هر نقطه، ماکزیمم نسبی است و تابع بی‌شمار ماکزیمم نسبی دارد (و به همین دلیل، بی‌شمار مینیمم نسبی هم دارد).

ت) اگر تابع در نقطهٔ $c$ اکسترمم نسبی داشته باشد، یا $f'(c) = 0$ است یا $f'(c)$ وجود ندارد؛ و نقطه‌ای که یکی از این دو ویژگی را داشته باشد، نقطهٔ بحرانی است. اما اکسترمم نسبی لزوماً بزرگ‌ترین یا کوچک‌ترین مقدار کل تابع (اکسترمم مطلق) نیست.