سوال ۱۱ — سؤال ۱۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۵، نوبت صبح

الف)

$$f'(x) = 6x\,(2x - 3)^5 + 5 \times (2)\,(2x - 3)^4\,(3x^2 - 4)$$

ب)

$$g'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}}$$

(یا: $g(x) = (3x + 1)^{\frac{1}{2}} \Rightarrow g'(x) = (3)\,\dfrac{1}{2}(3x + 1)^{-\frac{1}{2}}$)

الف) تابع حاصل‌ضرب دو عبارت است؛ از قاعدهٔ ضرب استفاده می‌کنیم:

$$(uv)' = u'v + v'u$$

با $u = 3x^2 - 4$ و $v = (2x - 3)^5$:

$$u' = 6x$$

برای $v$ از قاعدهٔ توان (مشتق $w^n$ برابر $n\,w^{n-1}\,w'$ است) کمک می‌گیریم؛ مشتق داخل پرانتز، یعنی $2x - 3$، برابر $2$ است:

$$v' = 5(2x - 3)^4 \times 2$$

حالا در قاعدهٔ ضرب می‌گذاریم:

$$f'(x) = 6x\,(2x - 3)^5 + 5 \times 2\,(2x - 3)^4\,(3x^2 - 4)$$

(ساده کردن لازم نیست؛ اگر بخواهید، این برابر $10(2x - 3)^4(3x^2 - 4) + 6x(2x - 3)^5$ است.)

ب) مشتق رادیکال با فرمول زیر به دست می‌آید:

$$\left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$$

با $u = 3x + 1$ و $u' = 3$:

$$g'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}}$$

همین نتیجه را با نوشتن رادیکال به صورت توان هم می‌گیریم: $g(x) = (3x + 1)^{\frac{1}{2}}$ و

$$g'(x) = \frac{1}{2}(3x + 1)^{-\frac{1}{2}} \times 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}}$$