سوال ۹ — سؤال ۹ امتحان نهایی ریاضی ۳ — تیر ۱۴۰۵

الف)

$$f'_-(-1) = \lim_{x \to (-1)^-} \frac{x - 1 - (-2)}{x + 1} = 1$$

یا با $h$:

$$f'_-(-1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{(-1 + h - 1) - (-2)}{h} = 1$$

ب) خیر.

الف) شیب نیم‌مماس چپ همان مشتق چپ است:

$$f'_-(-1) = \lim_{x \to (-1)^-} \frac{f(x) - f(-1)}{x - (-1)}$$

گام ۱: مقدار تابع در $-1$. چون $-1 \le -1$ است، از ضابطهٔ پایینی استفاده می‌کنیم:

$$f(-1) = -1 - 1 = -2$$

گام ۲: حد چپ. وقتی $x \to (-1)^-$ یعنی $x < -1$، پس $f(x) = x - 1$:

$$f'_-(-1) = \lim_{x \to (-1)^-} \frac{(x - 1) - (-2)}{x + 1} = \lim_{x \to (-1)^-} \frac{x + 1}{x + 1} = 1$$

این نتیجه منطقی است: سمت چپ $-1$ نمودار همان خط $y = x - 1$ با شیب ۱ است.

ب) نقطهٔ $x = -1$ درون بازهٔ $(-2, 0)$ است. پیوستگی تابع را در این نقطه بررسی می‌کنیم. حد راست:

$$\lim_{x \to (-1)^+} (-x^2) = -1 \ne f(-1) = -2$$

پس تابع در $x = -1$ پیوسته نیست (نمودار در این نقطه پرش دارد). تابعی که در نقطه‌ای ناپیوسته باشد، در آن نقطه مشتق‌پذیر نیست؛ بنابراین $f$ در کل بازهٔ $(-2, 0)$ مشتق‌پذیر نیست.