سوال ۱۴ — سؤال ۱۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — تیر ۱۴۰۵

$$S = \frac{1}{2}(2x)(4 - x) = 4x - x^2$$ $$S'(x) = 4 - 2x = 0 \Rightarrow x = 2$$

پس مساحت مثلث در $x = 2$ بیشترین مقدار ممکن را دارد.

گام ۱: تابع مساحت. مساحت مثلث نصفِ حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع است:

$$S(x) = \frac{1}{2}(2x)(4 - x) = x(4 - x) = 4x - x^2$$

طول قاعده و ارتفاع باید مثبت باشند: $2x > 0$ و $4 - x > 0$؛ پس $0 < x < 4$.

گام ۲: مشتق و ریشهٔ آن.

$$S'(x) = 4 - 2x = 0 \Rightarrow x = 2$$

گام ۳: جدول تغییرات. برای $x < 2$ مقدار $4 - 2x$ مثبت و برای $x > 2$ منفی است:

نتیجه: علامت $S'$ در $x = 2$ از مثبت به منفی عوض می‌شود؛ مساحت تا $x = 2$ زیاد می‌شود و بعد از آن کم می‌شود. پس بیشترین مساحت در $x = 2$ به دست می‌آید. (در این حالت قاعده ۲ و ارتفاع ۴ است و بیشترین مساحت $S(2) = 8 - 4 = 4$ است.)

همین نتیجه را از نمودار خط $S'(x) = 4 - 2x$ هم می‌توان دید: این خط در $x = 2$ محور $x$ را قطع می‌کند و علامتش از مثبت به منفی تغییر می‌کند.