سوال ۱۲ — سؤال ۱۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — تیر ۱۴۰۵

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow 3x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm 1$$

با توجه به جدول تغییرات، تابع در بازهٔ $[-1, 1]$ اکیداً نزولی است.

تابع در بازه‌ای اکیداً نزولی است که مشتقش در آن منفی باشد. پس باید علامت $f'$ را پیدا کنیم.

گام ۱: مشتق و ریشه‌های آن.

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$$ $$f'(x) = 0 \Rightarrow x = -1 \ \ \text{یا} \ \ x = 1$$

گام ۲: علامت $f'$. عبارت درجهٔ دوم $3x^2 - 3$ ضریب $x^2$ مثبت دارد؛ پس بیرونِ دو ریشه مثبت و بین دو ریشه منفی است. (برای نمونه $f'(0) = -3 < 0$.)

گام ۳: جدول تغییرات. جدول را از بالا به پایین به ترتیب بزرگ شدن $x$ می‌خوانیم:

نتیجه: بزرگ‌ترین بازه‌ای که تابع در آن اکیداً نزولی است، بازهٔ بین دو ریشه است: $[-1, 1]$. تابع در دو سر بازه هم پیوسته است، پس می‌توان دو سر را هم در بازه آورد.

راه دیگر: مستقیم نامعادلهٔ $f'(x) < 0$ را حل کنیم:

$$3x^2 - 3 < 0 \Rightarrow x^2 < 1 \Rightarrow |x| < 1 \Rightarrow -1 < x < 1$$

همین نتیجه را از نمودار سهمی $y = 3x^2 - 3$ هم می‌توان دید: این سهمی فقط بین $-1$ و $1$ زیر محور $x$ است.