سوال ۱۰ — سؤال ۱۰ امتحان نهایی ریاضی ۳ — تیر ۱۴۰۵

الف)

$$f'(x) = \frac{\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}(x^2 - 5) - 2x\sqrt[3]{x}}{(x^2 - 5)^2}$$

ب)

$$g'(x) = 6(3x^4 + 2)^5(12x^3)$$

الف) از قاعدهٔ مشتق کسر استفاده می‌کنیم:

$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

با $u = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ و $v = x^2 - 5$:

$$u' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \qquad v' = 2x$$

با جای‌گذاری:

$$f'(x) = \frac{\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}(x^2 - 5) - 2x\sqrt[3]{x}}{(x^2 - 5)^2}$$

راه دیگر: تابع را به‌صورت ضرب بنویسیم، $f(x) = \sqrt[3]{x}\,(x^2 - 5)^{-1}$، و از قاعدهٔ مشتق ضرب و زنجیره‌ای استفاده کنیم:

$$f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}(x^2 - 5)^{-1} + (-1)(2x)(x^2 - 5)^{-2}\sqrt[3]{x}$$

که همان جواب قبلی است.

ب) قاعدهٔ زنجیره‌ای برای توان: $\big(u^n\big)' = n\,u^{n-1}\,u'$. با $u = 3x^4 + 2$ و $n = 6$:

$$u' = 12x^3 \Rightarrow g'(x) = 6(3x^4 + 2)^5(12x^3)$$

(اگر بخواهیم ساده کنیم: $g'(x) = 72x^3(3x^4 + 2)^5$.)