سوال ۶ — سؤال ۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — تیر ۱۴۰۵

$$\cos 3x = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos\frac{\pi}{4}$$ $$3x = 2k\pi + \frac{\pi}{4} \ \ \text{یا} \ \ 3x = 2k\pi - \frac{\pi}{4} \qquad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{2k\pi}{3} + \frac{\pi}{12} \ \ \text{یا} \ \ x = \frac{2k\pi}{3} - \frac{\pi}{12} \qquad k \in \mathbb{Z}$$

گام ۱: جدا کردن کسینوس.

$$4\cos 3x = 2\sqrt{2} \Rightarrow \cos 3x = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

گام ۲: نوشتن طرف راست به‌صورت کسینوس یک زاویهٔ معلوم. می‌دانیم $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$؛ پس:

$$\cos 3x = \cos\frac{\pi}{4}$$

گام ۳: جواب کلی. جواب کلی معادلهٔ $\cos u = \cos\alpha$ این است:

$$u = 2k\pi \pm \alpha \qquad k \in \mathbb{Z}$$

با $u = 3x$ و $\alpha = \frac{\pi}{4}$:

$$3x = 2k\pi + \frac{\pi}{4} \ \ \text{یا} \ \ 3x = 2k\pi - \frac{\pi}{4}$$

گام ۴: تقسیم بر ۳.

$$x = \frac{2k\pi}{3} + \frac{\pi}{12} \ \ \text{یا} \ \ x = \frac{2k\pi}{3} - \frac{\pi}{12} \qquad k \in \mathbb{Z}$$