سوال ۱۷ — سؤال ۱۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — تیر ۱۴۰۵

اگر پیشامد بیش از ۱۰ سال بودن عمر ساعت را با $C$ نمایش دهیم:

$$P(C) = P(A) \times P(C|A) + P(B) \times P(C|B)$$ $$P(C) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{5} + \frac{3}{8} \times \frac{9}{10} = \frac{67}{80}$$

ساعت بیرون‌آمده یا از نوع $A$ است یا از نوع $B$؛ این دو حالت با هم رخ نمی‌دهند و با هم همهٔ حالت‌ها را می‌پوشانند. پس از قانون احتمال کل استفاده می‌کنیم.

گام ۱: احتمال هر نوع. در جعبه $5 + 3 = 8$ ساعت هست:

$$P(A) = \frac{5}{8} \qquad P(B) = \frac{3}{8}$$

گام ۲: احتمال‌های شرطی. اگر $C$ پیشامد «عمر بیش از ۱۰ سال» باشد، طبق صورت سؤال:

$$P(C|A) = \frac{4}{5} \qquad P(C|B) = \frac{9}{10}$$

گام ۳: نمودار درختی. در شکل زیر $C'$ یعنی عمر ساعت بیش از ۱۰ سال نیست:

گام ۴: قانون احتمال کل. احتمال‌های روی هر مسیری را که به $C$ می‌رسد در هم ضرب و نتیجه‌ها را با هم جمع می‌کنیم:

$$P(C) = P(A) \times P(C|A) + P(B) \times P(C|B)$$ $$P(C) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{5} + \frac{3}{8} \times \frac{9}{10} = \frac{40}{80} + \frac{27}{80} = \frac{67}{80}$$