تیر ۱۴۰۵

امتحان نهایی ریاضی ۳

سوالات و پاسخ‌های تشریحی امتحان نهایی ریاضی ۳
همراه با بارم‌بندی و نکات کلیدی

۲۰ بارم کل۱۷ تعداد سوال۱۲۰ دقیقه زماندانلود PDF

سوال ۱ — سؤال ۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — تیر ۱۴۰۵

۰.۷۵ بارم

درستی یا نادرستی گزاره‌های زیر را مشخص کنید.

الف) هر تابع صعودی، تابعی یک‌به‌یک است.

ب) برای دو تابع ff و gg که f≠gf \ne g، تساوی (f∘g)(x)=(g∘f)(x)(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x) هیچ‌وقت برقرار نیست.

پ) اگر 0<α<π20 < \alpha < \frac{\pi}{2}، آنگاه tan⁡α>sin⁡α\tan\alpha > \sin\alpha.

دیدن پاسخپاسخ این سوال همراه با حل تشریحی و نکات آموزشی
در یک قدمی شماست!پاسخ تشریحیبستن پاسخ

الف) نادرست — ب) نادرست — پ) درست

راه‌حل قدم‌به‌قدم

الف) نادرست. تابع صعودی یعنی با بزرگ شدن xx مقدار تابع کم نمی‌شود؛ یعنی

x1<x2⇒f(x1)≤f(x2)x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2)

در این تعریف، برابر بودن f(x1)f(x_1) و f(x2)f(x_2) مجاز است. مثلاً تابع ثابت f(x)=3f(x) = 3 صعودی است، ولی به همهٔ xxها یک مقدار نسبت می‌دهد و یک‌به‌یک نیست. فقط تابع اکیداً صعودی (x1<x2⇒f(x1)<f(x2)x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)) حتماً یک‌به‌یک است.

ب) نادرست. برای رد کردن «هیچ‌وقت» کافی است یک مثال بیاوریم. فرض کنید f(x)=x+1f(x) = x + 1 و g(x)=x+2g(x) = x + 2؛ این دو تابع برابر نیستند، اما:

(f∘g)(x)=f(x+2)=x+3(g∘f)(x)=g(x+1)=x+3(f \circ g)(x) = f(x + 2) = x + 3 \qquad (g \circ f)(x) = g(x + 1) = x + 3

پس ممکن است با وجود f≠gf \ne g، تساوی f∘g=g∘ff \circ g = g \circ f برقرار باشد.

پ) درست. می‌دانیم tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}. وقتی 0<α<π20 < \alpha < \frac{\pi}{2} است (ربع اول):

sin⁡α>0و0<cos⁡α<1\sin\alpha > 0 \quad \text{و} \quad 0 < \cos\alpha < 1

تقسیم یک عدد مثبت بر عددی بین صفر و یک، آن را بزرگ‌تر می‌کند:

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α>sin⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} > \sin\alpha
این پاسخ مفید بود؟