تیر ۱۴۰۵

امتحان نهایی ریاضی ۳

سوالات و پاسخ‌های تشریحی امتحان نهایی ریاضی ۳
همراه با بارم‌بندی و نکات کلیدی

۲۰ بارم کل۱۷ تعداد سوال۱۲۰ دقیقه زماندانلود PDF

سوال ۴ — سؤال ۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — تیر ۱۴۰۵

۰.۷۵ بارم

ضابطهٔ تابع وارون تابع یک‌به‌یک f(x)=2−x3f(x) = 2 - x^3 را بیابید.

دیدن پاسخپاسخ این سوال همراه با حل تشریحی و نکات آموزشی
در یک قدمی شماست!پاسخ تشریحیبستن پاسخ
y=2−x3⇒x3=2−y⇒x=2−y3⇒f−1(x)=2−x3y = 2 - x^3 \Rightarrow x^3 = 2 - y \Rightarrow x = \sqrt[3]{2 - y} \Rightarrow f^{-1}(x) = \sqrt[3]{2 - x}

راه‌حل قدم‌به‌قدم

برای پیدا کردن وارون، y=f(x)y = f(x) می‌نویسیم، xx را برحسب yy به دست می‌آوریم و در پایان جای xx و yy را عوض می‌کنیم.

گام ۱: y=2−x3y = 2 - x^3 را برحسب x3x^3 مرتب می‌کنیم:

x3=2−yx^3 = 2 - y

گام ۲: از دو طرف ریشهٔ سوم می‌گیریم (ریشهٔ سوم برای هر عدد حقیقی، مثبت یا منفی، تعریف شده است):

x=2−y3x = \sqrt[3]{2 - y}

گام ۳: جای xx و yy را عوض می‌کنیم:

f−1(x)=2−x3f^{-1}(x) = \sqrt[3]{2 - x}

بررسی: برای نمونه f(1)=2−1=1f(1) = 2 - 1 = 1 و f−1(1)=2−13=1f^{-1}(1) = \sqrt[3]{2 - 1} = 1؛ یا f(2)=2−8=−6f(2) = 2 - 8 = -6 و f−1(−6)=83=2f^{-1}(-6) = \sqrt[3]{8} = 2. وارون، کار ff را برمی‌گرداند.

این پاسخ مفید بود؟