سوال ۱۶ — سؤال ۱۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — تیر ۱۴۰۵

$$O'(1, -2) \qquad r' = 2 \qquad OO' = \sqrt{25} = 5$$ $$r + r' = OO'$$

پس دو دایره مماس بیرون هستند.

برای تعیین وضعیت دو دایره، فاصلهٔ دو مرکز را با مجموع (و تفاضل) دو شعاع مقایسه می‌کنیم.

گام ۱: مرکز و شعاع دایرهٔ داده‌شده. معادلهٔ $(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = R^2$ دایره‌ای به مرکز $(\alpha, \beta)$ و شعاع $R$ است. پس:

$$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4 \Rightarrow O'(1, -2) \ , \ r' = \sqrt{4} = 2$$

گام ۲: فاصلهٔ دو مرکز. دایرهٔ دیگر مرکز $O(4, 2)$ و شعاع $r = 3$ دارد:

$$OO' = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

گام ۳: مقایسه.

$$r + r' = 3 + 2 = 5 = OO'$$

وقتی فاصلهٔ دو مرکز دقیقاً برابر مجموع دو شعاع باشد، دو دایره فقط در یک نقطه از بیرون به هم می‌رسند؛ یعنی دو دایره مماس بیرون هستند.