سوال ۵ — سؤال ۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — تیر ۱۴۰۵

الف)

$$\frac{T}{2} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow T = \pi \Rightarrow |b| = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2$$

ب)

$$1 - 2\sin^2(15^\circ) = \cos(2 \times 15^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

الف) در $x = 0$ مقدار تابع $\cos 0 + 2 = 3$ است که بیشترین مقدار ممکن آن است؛ پس نمودار روی محور $y$ بیشینه دارد (همان‌طور که در شکل دیده می‌شود). اولین کمینه بعد از آن در $x = \frac{\pi}{2}$ است.

فاصلهٔ یک بیشینه تا کمینهٔ بعدی، نصف دورهٔ تناوب است:

$$\frac{T}{2} = \frac{\pi}{2} - 0 \Rightarrow T = \pi$$

دورهٔ تناوب تابع $y = \cos(bx) + 2$ برابر $T = \dfrac{2\pi}{|b|}$ است؛ پس:

$$|b| = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2$$

راه دیگر: کمترین مقدار تابع $-1 + 2 = 1$ است و در $x = \frac{\pi}{2}$ رخ می‌دهد:

$$\cos\left(b \cdot \frac{\pi}{2}\right) + 2 = 1 \Rightarrow \cos\left(b \cdot \frac{\pi}{2}\right) = -1$$

کسینوس برای اولین بار (از صفر به بعد) در زاویهٔ $\pi$ برابر $-1$ می‌شود و این کمینه، اولین کمینهٔ نمودار است؛ پس:

$$\frac{|b|\pi}{2} = \pi \Rightarrow |b| = 2$$

ب) طبق اتحاد کسینوس دو برابر کمان:

$$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$$

با $\alpha = 15^\circ$:

$$1 - 2\sin^2(15^\circ) = \cos(2 \times 15^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$