سوال ۸ — سؤال ۸ امتحان نهایی ریاضی ۳ — تیر ۱۴۰۵

شیب خط مماس بر منحنی در یک نقطه، برابر مشتق تابع در آن نقطه است. شیب خط $y = 4x + a$ برابر ۴ است و نقطهٔ تماس $x = 1$ است؛ پس باید $f'(1) = 4$ باشد.

گام ۱: مشتق.

$$f(x) = x^3 + ax + 3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2 + a$$

گام ۲: برابر قرار دادن شیب‌ها.

$$f'(1) = 3(1)^2 + a = 3 + a = 4 \Rightarrow a = 1$$

بررسی: با $a = 1$، نقطهٔ $A$ برابر $(1, 5)$ است. این نقطه روی منحنی هست، چون $f(1) = 1 + 1 + 3 = 5$، و روی خط هم هست، چون $4(1) + 1 = 5$.

راه دیگر (راهنمای تصحیح): خط و منحنی در نقطهٔ تماس به هم می‌رسند؛ معادلهٔ برخورد آن‌ها را می‌نویسیم:

$$4x + a = x^3 + ax + 3 \Rightarrow (x^3 - 4x + 3) + a(x - 1) = 0 \Rightarrow (x - 1)(x^2 + x - 3 + a) = 0$$

چون خط در $x = 1$ مماس است، $x = 1$ باید ریشهٔ مضاعف این معادله باشد؛ یعنی ریشهٔ $x^2 + x - 3 + a = 0$ هم باشد:

$$1 + 1 - 3 + a = 0 \Rightarrow a = 1$$