سوال ۲ — سؤال ۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — تیر ۱۴۰۵

الف) گزینهٔ ۴ (نمودار ۴) — ب) گزینهٔ ۳ ($A'(2, 6)$)

الف) تابع اکیداً یکنوا یعنی در تمام دامنه‌اش یا اکیداً صعودی باشد یا اکیداً نزولی. نمودارها را یکی‌یکی بررسی می‌کنیم:

نمودار ۱: تابع همه‌جا بالا می‌رود، اما دو نقطهٔ توپر در دو طرف پرش هم‌ارتفاع‌اند؛ یعنی $x_1 < x_2$ ولی $f(x_1) = f(x_2)$. پس تابع صعودی است، ولی اکیداً صعودی نیست.

نمودار ۲: شکل V است؛ سمت چپ محور $y$ پایین می‌آید و سمت راست آن بالا می‌رود. پس نه صعودی است و نه نزولی.

نمودار ۳: هر شاخه جداگانه نزولی است، اما در کل دامنه نه. نقطه‌ای از شاخهٔ چپ (زیر محور $x$) و نقطه‌ای از شاخهٔ راست (بالای محور $x$) را در نظر بگیرید: $x_1 < x_2$ و $f(x_1) < f(x_2)$، که با نزولی بودن نمی‌خواند.

نمودار ۴: از مبدأ شروع می‌شود و با بزرگ شدن $x$ همیشه بالاتر می‌رود؛ یعنی اکیداً صعودی و در نتیجه اکیداً یکنواست. پاسخ گزینهٔ ۴ است.

ب) چون $A(4, 6)$ روی نمودار $f$ است، $f(4) = 6$. برای اینکه در $y = f(2x)$ همین مقدار را بگیریم، باید داخل پرانتز ۴ شود:

پس نقطهٔ متناظر $A'(2, 6)$ است (گزینهٔ ۳). در واقع ضرب $x$ در ۲ نمودار را در راستای افقی نصف (فشرده) می‌کند: طول نقطه نصف می‌شود و عرض آن ثابت می‌ماند.