سوال ۱۵ — سؤال ۱۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — تیر ۱۴۰۵

$$2c = 6 \Rightarrow c = 3$$ $$e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5} \xrightarrow{c = 3} a = 5$$ $$MF + MF' = 2a = 10$$

طبق تعریف بیضی، مجموع فاصله‌های هر نقطهٔ $M$ روی بیضی از دو کانون، مقداری ثابت و برابر طول قطر بزرگ یعنی $2a$ است. پس کافی است $a$ را پیدا کنیم.

گام ۱: فاصلهٔ کانونی. فاصلهٔ دو کانون $FF' = 2c$ است:

$$2c = 6 \Rightarrow c = 3$$

گام ۲: خروج از مرکز. خروج از مرکز بیضی $e = \dfrac{c}{a}$ است:

$$\frac{3}{a} = \frac{3}{5} \Rightarrow a = 5$$

گام ۳: مجموع فاصله‌ها.

$$MF + MF' = 2a = 2 \times 5 = 10$$