تیر ۱۴۰۵

امتحان نهایی ریاضی ۳

سوالات و پاسخ‌های تشریحی امتحان نهایی ریاضی ۳
همراه با بارم‌بندی و نکات کلیدی

۲۰ بارم کل۱۷ تعداد سوال۱۲۰ دقیقه زماندانلود PDF

سوال ۱۱ — سؤال ۱۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — تیر ۱۴۰۵

۱.۲۵ بارم

خودرویی طبق معادلهٔ f(t)=−5t2+40tf(t) = -5t^2 + 40t حرکت می‌کند، که در آن 0≤t≤80 \le t \le 8 برحسب ثانیه است.

الف) سرعت متوسط خودرو را در بازهٔ زمانی [1,4][1, 4] محاسبه کنید.

ب) سرعت لحظه‌ای آن را در t=3t = 3 بیابید.

دیدن پاسخپاسخ این سوال همراه با حل تشریحی و نکات آموزشی
در یک قدمی شماست!پاسخ تشریحیبستن پاسخ

الف)

f(4)−f(1)4−1=80−353=453=15\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{80 - 35}{3} = \frac{45}{3} = 15

ب)

f′(t)=−10t+40⇒f′(3)=−30+40=10f'(t) = -10t + 40 \Rightarrow f'(3) = -30 + 40 = 10

راه‌حل قدم‌به‌قدم

الف) سرعت متوسط در بازهٔ [t1,t2][t_1, t_2] برابر تغییر مکان تقسیم بر مدت زمان است (همان آهنگ متوسط تغییر تابع):

vˉ=f(t2)−f(t1)t2−t1\bar{v} = \frac{f(t_2) - f(t_1)}{t_2 - t_1}

مقدار تابع در دو سر بازه:

f(4)=−5(16)+40(4)=−80+160=80f(1)=−5+40=35f(4) = -5(16) + 40(4) = -80 + 160 = 80 \qquad f(1) = -5 + 40 = 35 vˉ=80−354−1=453=15\bar{v} = \frac{80 - 35}{4 - 1} = \frac{45}{3} = 15

ب) سرعت لحظه‌ای، مشتق تابع مکان است (آهنگ لحظه‌ای تغییر):

f′(t)=−10t+40f'(t) = -10t + 40 f′(3)=−10(3)+40=−30+40=10f'(3) = -10(3) + 40 = -30 + 40 = 10
این پاسخ مفید بود؟