سوال ۳ — سؤال ۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — تیر ۱۴۰۵

$$D_f = \mathbb{R} \qquad D_g = [2, +\infty)$$ $$D_{g \circ f} = \{x \in D_f \mid f(x) \in D_g\} = \{x \in \mathbb{R} \mid 3x - 1 \ge 2\} = [1, +\infty)$$

طبق تعریف، دامنهٔ $g \circ f$ همهٔ $x$هایی است که اولاً در دامنهٔ $f$ باشند و ثانیاً خروجی $f$ به ازای آن‌ها در دامنهٔ $g$ قرار بگیرد:

$$D_{g \circ f} = \{x \in D_f \mid f(x) \in D_g\}$$

گام ۱: دامنهٔ هر تابع. $f(x) = 3x - 1$ چندجمله‌ای است و به ازای هر عدد حقیقی تعریف می‌شود: $D_f = \mathbb{R}$. در $g(x) = \sqrt{x - 2}$ زیر رادیکال با فرجهٔ زوج باید نامنفی باشد:

$$x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2 \Rightarrow D_g = [2, +\infty)$$

گام ۲: شرط $f(x) \in D_g$. یعنی $f(x) \ge 2$:

$$3x - 1 \ge 2 \Rightarrow 3x \ge 3 \Rightarrow x \ge 1$$

گام ۳: اشتراک. چون $D_f$ همهٔ اعداد حقیقی است، فقط شرط گام ۲ می‌ماند:

$$D_{g \circ f} = [1, +\infty)$$

برای اطمینان: $(g \circ f)(x) = g(3x - 1) = \sqrt{3x - 3}$ که دقیقاً وقتی $x \ge 1$ است تعریف می‌شود.