سوال ۱۳ — سؤال ۱۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — تیر ۱۴۰۵

الف) صفر — ب) نه ماکزیمم نسبی و نه مینیمم نسبی

الف) نقطهٔ $A$ قلهٔ یک قسمت هموار و بدون شکستگی از نمودار است؛ خط مماس در این نقطه افقی است. شیب خط افقی صفر است، پس مقدار مشتق تابع در $A$ صفر است.

این با قضیهٔ مربوط به اکسترمم‌ها هم می‌خواند: اگر تابع در نقطه‌ای اکسترمم نسبی داشته باشد و در آن نقطه مشتق‌پذیر باشد، مشتقش در آن نقطه صفر است.

ب) نقطهٔ $B$ نقطهٔ انتهایی نمودار است؛ تابع بعد از $B$ تعریف نشده است. طبق تعریف کتاب درسی، نقطه‌ای ماکزیمم یا مینیمم نسبی است که تابع در یک بازهٔ باز شامل آن نقطه (دو طرف آن) تعریف شده باشد و مقدار تابع در آن نقطه از همهٔ مقدارهای آن بازه بیشتر (یا کمتر) باشد. در $B$ چنین بازهٔ بازی وجود ندارد، چون سمت راست $B$ تابعی نیست.

پس $B$ نه ماکزیمم نسبی است و نه مینیمم نسبی، هرچند پایین‌ترین نقطهٔ این قسمت از نمودار است. به همین دلیل مشتق هم در $B$ وجود ندارد (در نقطهٔ انتهایی فقط یک طرف نمودار را داریم).