سوال ۷ — سؤال ۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — تیر ۱۴۰۵

الف)

$$\lim_{x \to 1} \frac{x(x - 1)}{\sqrt{x + 3} - 2} \times \frac{\sqrt{x + 3} + 2}{\sqrt{x + 3} + 2} = \lim_{x \to 1} \frac{x(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} x(\sqrt{x + 3} + 2) = 4$$

ب)

$$\lim_{x \to 2^-} \frac{-2}{x^2 - 4} = +\infty$$

پ)

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2}{5x^2} = \frac{2}{5}$$

الف) با جای‌گذاری $x = 1$، صورت $1 - 1 = 0$ و مخرج $\sqrt{4} - 2 = 0$ می‌شود؛ حالت مبهم $\frac{0}{0}$ داریم. صورت را تجزیه می‌کنیم و مخرج را در مزدوجش ضرب می‌کنیم:

$$\frac{x(x - 1)}{\sqrt{x + 3} - 2} \times \frac{\sqrt{x + 3} + 2}{\sqrt{x + 3} + 2} = \frac{x(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)}{(x + 3) - 4}$$

مخرج برابر $x - 1$ شد و با عامل $x - 1$ در صورت ساده می‌شود (چون $x \to 1$ است، $x \ne 1$):

$$\lim_{x \to 1} x(\sqrt{x + 3} + 2) = 1 \times (\sqrt{4} + 2) = 4$$

ب) صورت همیشه $-2$ (منفی) است. علامت مخرج را وقتی $x$ از چپ به ۲ نزدیک می‌شود بررسی می‌کنیم: اگر $x < 2$ و نزدیک ۲ باشد، $x^2 < 4$؛ پس $x^2 - 4$ عددی منفی و بسیار نزدیک صفر است ($0^-$):

$$\lim_{x \to 2^-} \frac{-2}{x^2 - 4} = \frac{-2}{0^-} = +\infty$$

تقسیم یک عدد منفی بر عددی منفی و بسیار کوچک، عددی مثبت و بسیار بزرگ می‌دهد.

پ) در حد بی‌نهایتِ کسر گویا، فقط جملهٔ با بزرگ‌ترین توان در صورت و مخرج اهمیت دارد:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2}{x + 5x^2 - 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2}{5x^2} = \frac{2}{5}$$

یا با فاکتور گرفتن از $x^2$ در مخرج:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2}{x^2\left(\frac{1}{x} + 5 - \frac{1}{x^2}\right)} = \frac{2}{0 + 5 - 0} = \frac{2}{5}$$