سوال ۸ — سؤال ۸ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۴

الف)

$$\lim_{x \to 1} \frac{(2x - 1)(x - 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{1}{3}$$

ب) روش اول:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^4}{3x^4} = \frac{1}{3}$$

روش دوم:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^4\left(1 + \frac{1}{x^3}\right)}{3x^4\left(1 + \frac{1}{3x^2}\right)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^4}{3x^4} = \frac{1}{3}$$

پ) $-\infty$

الف) گام ۱: نوع حد. با گذاشتن $x = 1$، صورت $2 - 3 + 1 = 0$ و مخرج $1 - 1 = 0$ می‌شود؛ حالت مبهم $\frac{0}{0}$ است. پس $(x - 1)$ عامل مشترک صورت و مخرج است.

گام ۲: تجزیه.

$$2x^2 - 3x + 1 = (2x - 1)(x - 1) , \qquad x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$$

گام ۳: ساده کردن و جای‌گذاری. عامل $(x - 1)$ را ساده می‌کنیم (نزدیک ۱ صفر نیست):

$$\lim_{x \to 1} \frac{2x - 1}{x^2 + x + 1} = \frac{2 - 1}{1 + 1 + 1} = \frac{1}{3}$$

ب) در حد یک تابع گویا وقتی $x \to +\infty$، فقط جملهٔ با بزرگ‌ترین توان در صورت و در مخرج اهمیت دارد. بزرگ‌ترین توان در صورت $x^4$ و در مخرج $3x^4$ است:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^4 + x}{3x^4 + x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^4}{3x^4} = \frac{1}{3}$$

دلیلش (روش دوم): اگر از $x^4$ در صورت و $3x^4$ در مخرج فاکتور بگیریم، کسرهای $\frac{1}{x^3}$ و $\frac{1}{3x^2}$ وقتی $x \to +\infty$ به صفر می‌روند و فقط $\frac{x^4}{3x^4} = \frac{1}{3}$ می‌ماند.

پ) وقتی $x$ از سمت راست به $\frac{\pi}{2}$ نزدیک می‌شود (کمی بزرگ‌تر از $\frac{\pi}{2}$، یعنی در ربع دوم)، $\cos x$ منفی است و به صفر نزدیک می‌شود:

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \cos x = 0^-$$

تقسیم ۱ بر عددی منفی و بسیار نزدیک به صفر، عددی منفی با قدرمطلق بسیار بزرگ می‌دهد:

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$