سوال ۵ — سؤال ۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۴

$$y = (x - 3)^2 - 9 \Rightarrow \sqrt{y + 9} = -(x - 3)$$ $$x = 3 - \sqrt{y + 9} \Rightarrow f^{-1}(x) = 3 - \sqrt{x + 9}$$

گام ۱: مربع کامل. ضابطه را به شکل مربع کامل می‌نویسیم تا $x$ فقط یک جا بیاید:

$$y = x^2 - 6x = (x^2 - 6x + 9) - 9 = (x - 3)^2 - 9$$

گام ۲: پیدا کردن $x$ بر حسب $y$.

$$(x - 3)^2 = y + 9 \Rightarrow |x - 3| = \sqrt{y + 9}$$

دامنه $x \le 3$ است، پس $x - 3 \le 0$ و قدرمطلق آن برابر $-(x - 3)$ است:

$$-(x - 3) = \sqrt{y + 9} \Rightarrow x = 3 - \sqrt{y + 9}$$

گام ۳: عوض کردن نام متغیرها. جای $x$ و $y$ را عوض می‌کنیم:

$$f^{-1}(x) = 3 - \sqrt{x + 9}$$

دامنهٔ $f^{-1}$ همان برد $f$ یعنی $[-9, +\infty)$ است.

بررسی: $f(1) = 1 - 6 = -5$ و $f^{-1}(-5) = 3 - \sqrt{4} = 1$؛ درست است.