سوال ۱۶ — سؤال ۱۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۴

روش اول:

$$O(-2, 1) , \qquad r = \frac{\sqrt{32}}{2} = 2\sqrt{2}$$ $$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 8$$

روش دوم:

$$O(-2, 1) , \qquad r = \frac{\sqrt{32}}{2} = 2\sqrt{2}$$ $$\begin{cases} -\frac{a}{2} = -2 \Rightarrow a = 4 \\ -\frac{b}{2} = 1 \Rightarrow b = -2 \end{cases}$$ $$r = 2\sqrt{2} = \frac{1}{2}\sqrt{16 + 4 - 4c} \Rightarrow c = -3$$ $$x^2 + y^2 + 4x - 2y - 3 = 0$$

گام ۱: مرکز دایره. مرکز دایره وسط هر قطر است؛ پس وسط پارهٔ $AB$ را پیدا می‌کنیم:

$$O = \left(\frac{0 + (-4)}{2}, \frac{3 + (-1)}{2}\right) = (-2, 1)$$

گام ۲: شعاع. شعاع نصف طول قطر $AB$ است:

$$AB = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$$ $$r = \frac{\sqrt{32}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \Rightarrow r^2 = 8$$

گام ۳: معادلهٔ دایره. معادلهٔ دایره به مرکز $(\alpha, \beta)$ و شعاع $r$ به شکل $(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2$ است:

$$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 8$$

شکل گسترده (روش دوم): اگر پرانتزها را باز کنیم:

$$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 8 \Rightarrow x^2 + y^2 + 4x - 2y - 3 = 0$$

که همان نتیجهٔ روش دوم راهنماست: در معادلهٔ $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ مرکز $\left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right)$ و شعاع $\frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 - 4c}$ است، و از مرکز $(-2, 1)$ و شعاع $2\sqrt{2}$ به $a = 4$، $b = -2$ و $c = -3$ می‌رسیم.

بررسی: نقطهٔ $A(0, 3)$ در معادله صدق می‌کند: $(0 + 2)^2 + (3 - 1)^2 = 4 + 4 = 8$.