سوال ۱۴ — سؤال ۱۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۴

$$C'(t) = \frac{3(t^3 + 27) - 3t^2(3t)}{(t^3 + 27)^2} = 0 \Rightarrow (t^3 + 27) - 3t^3 = 0 \Rightarrow t^3 = \frac{27}{2} \Rightarrow t = \frac{3}{\sqrt[3]{2}}$$

غلظت دارو $\frac{3}{\sqrt[3]{2}}$ ساعت (حدود $2.38$ ساعت) پس از تزریق بیشترین مقدار است.

گام ۱: مشتق با قاعدهٔ تقسیم.

$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'\,v - u\,v'}{v^2}$$

با $u = 3t$ و $v = t^3 + 27$ داریم $u' = 3$ و $v' = 3t^2$:

$$C'(t) = \frac{3(t^3 + 27) - 3t^2(3t)}{(t^3 + 27)^2} = \frac{81 - 6t^3}{(t^3 + 27)^2}$$

گام ۲: ریشهٔ مشتق. مخرج همیشه مثبت است؛ پس علامت $C'$ همان علامت صورت است:

$$81 - 6t^3 = 0 \Rightarrow t^3 = \frac{81}{6} = \frac{27}{2} \Rightarrow t = \sqrt[3]{\frac{27}{2}} = \frac{3}{\sqrt[3]{2}} \approx 2.38$$

گام ۳: علامت $C'$. زمان منفی نیست ($t \ge 0$). برای $t$ کمتر از $\frac{3}{\sqrt[3]{2}}$، $t^3 < \frac{27}{2}$ و صورت مثبت است (مثلاً $C'(0) > 0$)؛ برای $t$ بیشتر از آن، صورت منفی است (مثلاً در $t = 3$: $81 - 162 < 0$).

گام ۴: جدول تغییرات. جدول را از بالا به پایین به ترتیب بزرگ شدن $t$ می‌خوانیم:

($C(0) = 0$، و وقتی $t$ خیلی بزرگ می‌شود، توان سوم در مخرج از $3t$ در صورت خیلی سریع‌تر بزرگ می‌شود و $C$ به صفر نزدیک می‌شود.)

نتیجه: غلظت تا $t = \frac{3}{\sqrt[3]{2}}$ زیاد و بعد از آن کم می‌شود؛ پس بیشترین غلظت حدود $2.38$ ساعت پس از تزریق است.