سوال ۱ — سؤال ۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۴

الف) درست — ب) نادرست — پ) درست

الف) درست. تابع $y = 7$ ثابت است: برای هر دو عدد $x_1 < x_2$ داریم $f(x_1) = f(x_2) = 7$. پس هم شرط صعودی بودن ($f(x_1) \le f(x_2)$) برقرار است و هم شرط نزولی بودن ($f(x_1) \ge f(x_2)$). تابع ثابت تنها تابعی است که هم صعودی و هم نزولی است (البته اکیداً صعودی یا اکیداً نزولی نیست).

ب) نادرست. همسایگی محذوف عدد ۲ یک بازهٔ باز است که ۲ را از هر دو طرف در بر بگیرد و خود ۲ از آن کنار گذاشته شده باشد؛ مثلاً:

بازهٔ $(2, 4)$ فقط عددهای سمت راست ۲ را دارد و هیچ عددی کمی کوچک‌تر از ۲ (مثل $1.9$) در آن نیست؛ پس همسایگی محذوف ۲ نیست. (به چنین بازه‌ای همسایگی راست ۲ می‌گویند.)

پ) درست. شعاعی که بر قطر نیم‌دایره عمود است، محور تقارن نیم‌دایره است و آن را به دو ربع‌دایرهٔ هم‌اندازه تقسیم می‌کند. وقتی نیم‌دایره حول این شعاع می‌چرخد، دو سر قطر روی یک دایره به شعاع $r$ می‌چرخند (قاعدهٔ شکل) و سر دیگر شعاع (بالاترین نقطهٔ کمان) ثابت می‌ماند. هر نقطهٔ کمان هم دایره‌ای افقی می‌سازد؛ پس شکل حاصل نیمی از یک کره به شعاع $r$، یعنی یک نیم‌کره است.