سوال ۱۳ — سؤال ۱۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۴

$$f'(x) = 3x^2 + 4 = 0 \quad \text{جواب ندارد}$$ $$f(-2) = -16 , \qquad f(1) = 5$$

مقدار مینیمم مطلق $-16$ و مقدار ماکزیمم مطلق $5$ است.

تابع $f$ چندجمله‌ای و در بازهٔ بستهٔ $[-2, 1]$ پیوسته است؛ پس ماکزیمم و مینیمم مطلق دارد و آن‌ها فقط در نقاط بحرانی درون بازه یا در دو سر بازه رخ می‌دهند.

گام ۱: نقاط بحرانی.

$$f'(x) = 3x^2 + 4$$ $$3x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = -\frac{4}{3}$$

مربع هیچ عدد حقیقی منفی نمی‌شود؛ پس این معادله جواب ندارد و تابع نقطهٔ بحرانی ندارد. در واقع $f'(x) > 0$ است و تابع در کل بازه صعودی است.

گام ۲: مقدار تابع در دو سر بازه.

$$f(-2) = (-2)^3 + 4(-2) = -8 - 8 = -16$$ $$f(1) = 1^3 + 4(1) = 1 + 4 = 5$$

نتیجه: مقدار مینیمم مطلق $-16$ (در $x = -2$) و مقدار ماکزیمم مطلق $5$ (در $x = 1$) است.