سوال ۱۰ — سؤال ۱۰ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۴

$$\lim_{x \to 2^-} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{|x^2 - 4| - 0}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{-(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = -4$$ $$y = -4x + 8$$

گام ۱: مقدار تابع در ۲.

$$f(2) = |4 - 4| = 0$$

گام ۲: تعریف مشتق چپ. شیب نیم‌مماس چپ همان مشتق چپ است:

$$f'_-(2) = \lim_{x \to 2^-} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{|x^2 - 4|}{x - 2}$$

گام ۳: برداشتن قدرمطلق. وقتی $x$ کمی کوچک‌تر از ۲ است (مثلاً $1.9$)، $x^2$ کمتر از ۴ و $x^2 - 4$ منفی است؛ پس:

$$|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = -(x - 2)(x + 2)$$

گام ۴: ساده کردن.

$$f'_-(2) = \lim_{x \to 2^-} \frac{-(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} -(x + 2) = -4$$

گام ۵: معادلهٔ نیم‌مماس چپ. خطی با شیب $-4$ که از نقطهٔ $(2, f(2)) = (2, 0)$ می‌گذرد:

$$y - 0 = -4(x - 2) \Rightarrow y = -4x + 8$$

نیم‌مماس چپ، بخشی از این خط است که در سمت چپ نقطهٔ تماس قرار دارد ($x \le 2$).