سوال ۱۷ — سؤال ۱۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۴

الف)

$$P(A) = \frac{4}{5} , \qquad P(B) = \frac{1}{5}$$

ب)

$$\frac{4}{5} \times \frac{35}{100} + \frac{1}{5} \times \frac{20}{100} = \frac{8}{25}$$

(جواب به صورت عدد اعشاری $0.32$ هم درست است؛ حل با نمودار درختی هم پذیرفته است.)

الف) اگر تعداد دانش‌آموزان مدرسهٔ $B$ را $n$ بگیریم، مدرسهٔ $A$ دارای $4n$ دانش‌آموز است و روی هم $5n$ نفر در محوطه‌اند. چون انتخاب تصادفی است، هر نفر شانس برابر دارد:

$$P(A) = \frac{4n}{5n} = \frac{4}{5} , \qquad P(B) = \frac{n}{5n} = \frac{1}{5}$$

ب) پیشامد «معدل بالای ۱۸» را $E$ می‌نامیم. فرد انتخابی یا از مدرسهٔ $A$ است یا از مدرسهٔ $B$؛ پس طبق قانون احتمال کل:

$$P(E) = P(A)\,P(E \mid A) + P(B)\,P(E \mid B)$$

از صورت سؤال $P(E \mid A) = \frac{35}{100}$ و $P(E \mid B) = \frac{20}{100}$ است:

$$P(E) = \frac{4}{5} \times \frac{35}{100} + \frac{1}{5} \times \frac{20}{100} = \frac{28}{100} + \frac{4}{100} = \frac{32}{100} = \frac{8}{25}$$

بررسی با عدد: اگر مدرسهٔ $B$ صد نفر و مدرسهٔ $A$ چهارصد نفر داشته باشد، از ۵۰۰ نفر، $140$ نفر از $A$ و $20$ نفر از $B$ معدل بالای ۱۸ دارند؛ یعنی $160$ نفر و احتمال $\frac{160}{500} = 0.32 = \frac{8}{25}$.