سوال ۷ — سؤال ۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۴

الف)

$$A = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

ب) روش اول:

$$\cos x(\cos x - 2) = 0 \Rightarrow \begin{cases} \cos x = 0 \Rightarrow x = k\pi + \frac{\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z}) \\ \cos x = 2 \quad \text{غیرقابل قبول} \end{cases}$$

روش دوم ($t = \cos x$):

$$t^2 - 2t = 0 \Rightarrow t(t - 2) = 0 \Rightarrow \begin{cases} t = 0 \Rightarrow \cos x = 0 \Rightarrow x = k\pi + \frac{\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z}) \\ t = 2 \Rightarrow \cos x = 2 \quad \text{غیرقابل قبول} \end{cases}$$

الف) طبق اتحاد کسینوس دو برابر کمان:

$$\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha$$

با $\alpha = 22.5^\circ$ داریم $2\alpha = 45^\circ$:

$$A = \cos^2 22.5^\circ - \sin^2 22.5^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

ب) گام ۱: فاکتورگیری. از $\cos x$ فاکتور می‌گیریم:

$$\cos^2 x - 2\cos x = \cos x(\cos x - 2) = 0$$

حاصل‌ضرب وقتی صفر است که یکی از عامل‌ها صفر باشد:

$$\cos x = 0 \quad \text{یا} \quad \cos x = 2$$

گام ۲: حالت $\cos x = 2$. مقدار کسینوس همیشه بین $-1$ و $1$ است؛ پس $\cos x = 2$ هیچ جوابی ندارد و غیرقابل قبول است.

گام ۳: حالت $\cos x = 0$. کسینوس در $\frac{\pi}{2}$ و $\frac{3\pi}{2}$ و هر نقطه‌ای که به فاصلهٔ $\pi$ از این‌ها باشد صفر می‌شود؛ پس جواب کلی:

$$x = k\pi + \frac{\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})$$

(روش دوم راهنما همین کار را با نام‌گذاری $t = \cos x$ و حل معادلهٔ درجهٔ دوم $t^2 - 2t = 0$ انجام می‌دهد.)