سوال ۱۱ — سؤال ۱۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۴

الف)

$$f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{x}}\left(\frac{1}{x}\right) + \left(-\frac{1}{x^2}\right)(5\sqrt{x} + 2)$$

ب)

$$g'(x) = 4(2x^3 + 5)^3(6x^2)$$

الف) تابع حاصل‌ضرب دو تابع است؛ از قاعدهٔ مشتق ضرب استفاده می‌کنیم:

$$(u\,v)' = u'\,v + u\,v'$$

با $u = 5\sqrt{x} + 2$ و $v = \frac{1}{x}$، مشتق هر کدام:

$$u' = 5 \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{5}{2\sqrt{x}} , \qquad v' = -\frac{1}{x^2}$$

با جای‌گذاری در قاعده:

$$f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{x}}\left(\frac{1}{x}\right) + \left(-\frac{1}{x^2}\right)(5\sqrt{x} + 2)$$

(اگر بخواهیم ساده کنیم: $f'(x) = -\frac{5}{2x\sqrt{x}} - \frac{2}{x^2}$؛ ولی سؤال ساده کردن را لازم ندانسته است.)

ب) تابع به شکل $u^n$ است؛ طبق قاعدهٔ زنجیره‌ای:

$$(u^n)' = n\,u^{n-1}\,u'$$

با $u = 2x^3 + 5$ و $n = 4$، و $u' = 6x^2$:

$$g'(x) = 4(2x^3 + 5)^3(6x^2) = 24x^2(2x^3 + 5)^3$$