سوال ۹ — سؤال ۹ امتحان نهایی ریاضی ۳ — مرداد ۱۴۰۳

از روی شکل، خط $d$ در نقطهٔ $(2, 3)$ بر نمودار $f$ مماس است؛ پس $f(2) = 3$ و شیب خط $d$ برابر $f'(2)$ است.

چون $5f(2) = 15$، صورت کسر را می‌توان به شکل $5\big(f(x) - f(2)\big)$ نوشت:

$$\lim_{x \to 2} \frac{5f(x) - 15}{x - 2} = 5\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}$$

حدِ $\frac{f(x) - f(2)}{x - 2}$ وقتی $x \to 2$، طبق تعریف، همان مشتق $f$ در $x = 2$ است:

$$5f'(2) = 10 \Rightarrow f'(2) = 2$$

معادلهٔ خط مماس با شیب $m = 2$ که از نقطهٔ $(2, 3)$ می‌گذرد:

$$y - 3 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 1$$