سوال ۷ — سؤال ۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — مرداد ۱۴۰۳

الف) $\tan\alpha > \cos\alpha$

ب)

$$2\cos^2 x - 1 - 13\cos x - 6 = 0 \Rightarrow 2\cos^2 x - 13\cos x - 7 = 0$$

$\cos x = 7$ غیرقابل قبول است و $\cos x = -\frac{1}{2}$:

$$\cos x = \cos\frac{2\pi}{3} \Rightarrow x = 2k\pi + \frac{2\pi}{3} \ \ \text{یا} \ \ x = 2k\pi - \frac{2\pi}{3} \qquad (k \in \mathbb{Z})$$

الف) روی دایرهٔ مثلثاتی، کسینوس زاویه روی محور کسینوس‌ها (محور افقی) خوانده می‌شود و تانژانت روی محور تانژانت‌ها (خط مماس بر دایره در نقطهٔ $(1, 0)$)، جایی که امتداد شعاع آن را قطع می‌کند.

وقتی $\alpha$ بین $\frac{\pi}{4}$ و $\frac{\pi}{2}$ است:

• $\cos\alpha$ مثبت است و از $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ کوچک‌تر است؛ یعنی $0 < \cos\alpha < \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$.
• $\tan\alpha$ از $\tan\frac{\pi}{4} = 1$ بزرگ‌تر است؛ هرچه زاویه به $\frac{\pi}{2}$ نزدیک‌تر شود، محل برخورد روی محور تانژانت بالاتر می‌رود.

پس $\cos\alpha < 1 < \tan\alpha$، یعنی $\tan\alpha > \cos\alpha$.

ب) برای اینکه معادله فقط بر حسب $\cos x$ باشد، از اتحاد $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ استفاده می‌کنیم:

$$2\cos^2 x - 1 - 13\cos x - 6 = 0 \Rightarrow 2\cos^2 x - 13\cos x - 7 = 0$$

با فرض $t = \cos x$ یک معادلهٔ درجهٔ دوم داریم که تجزیه می‌شود:

$$2t^2 - 13t - 7 = 0 \Rightarrow (2t + 1)(t - 7) = 0 \Rightarrow t = -\frac{1}{2} \ \ \text{یا} \ \ t = 7$$

جواب $\cos x = 7$ غیرقابل قبول است، چون همیشه $-1 \le \cos x \le 1$.

برای $\cos x = -\frac{1}{2}$ می‌دانیم $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$، و جواب کلی معادلهٔ $\cos x = \cos\theta$ به صورت $x = 2k\pi \pm \theta$ است:

$$\cos x = \cos\frac{2\pi}{3} \Rightarrow x = 2k\pi \pm \frac{2\pi}{3} \qquad (k \in \mathbb{Z})$$