سوال ۱۶ — سؤال ۱۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — مرداد ۱۴۰۳

وقتی خطی بر دایره مماس است، فاصلهٔ مرکز دایره از آن خط برابر شعاع دایره است. فاصلهٔ نقطهٔ $(x_0, y_0)$ از خط $ax + by + c = 0$ از این رابطه به دست می‌آید:

$$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

گام ۱: شعاع. فاصلهٔ مرکز $(1, 2)$ از خط $3x + 4y - 1 = 0$:

$$r = \frac{|3(1) + 4(2) - 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|10|}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$$

گام ۲: معادلهٔ دایره. معادلهٔ دایره با مرکز $(h, k)$ و شعاع $r$ به صورت $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ است:

$$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$$