سوال ۱۳ — سؤال ۱۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — مرداد ۱۴۰۳

$$f'(x) = 2x^2 - x - 15 = 0 \Rightarrow x = 3 \ \ \text{یا} \ \ x = -\frac{5}{2}$$

طول نقطهٔ ماکزیمم نسبی $x = -\frac{5}{2}$ و طول نقطهٔ مینیمم نسبی $x = 3$ است.

گام ۱: مشتق و ریشه‌های آن.

$$f'(x) = \frac{2}{3}(3x^2) - \frac{1}{2}(2x) - 15 = 2x^2 - x - 15$$ $$2x^2 - x - 15 = 0 \Rightarrow (2x + 5)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{2} \ \ \text{یا} \ \ x = 3$$

گام ۲: علامت $f'$. $f'$ یک عبارت درجهٔ دوم با ضریب $x^2$ مثبت است؛ پس بیرونِ دو ریشه مثبت و بین دو ریشه منفی است. (برای نمونه $f'(0) = -15$ منفی است و صفر بین دو ریشه قرار دارد.)

گام ۳: جدول تغییرات. هر جا $f'$ مثبت است تابع صعودی و هر جا منفی است تابع نزولی است. جدول را از بالا به پایین به ترتیب بزرگ شدن $x$ می‌خوانیم:

نتیجه: در $x = -\frac{5}{2}$ علامت $f'$ از مثبت به منفی عوض می‌شود (تابع از صعودی به نزولی می‌رود)، پس این نقطه ماکزیمم نسبی است. در $x = 3$ علامت $f'$ از منفی به مثبت عوض می‌شود، پس این نقطه مینیمم نسبی است.