سوال ۱ — سؤال ۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — مرداد ۱۴۰۳

الف) درست — ب) نادرست — پ) نادرست

الف) درست. ضرب کردن $x$ در ۳ یا ۵ فقط نمودار را در راستای افقی فشرده می‌کند و عرض نقطه‌ها را تغییر نمی‌دهد. چون دامنهٔ $f$ همهٔ $\mathbb{R}$ است، وقتی $x$ همهٔ عددهای حقیقی را بپیماید، $3x$ و $5x$ هم همهٔ عددهای حقیقی را می‌پیمایند. پس $f(3x)$ و $f(5x)$ دقیقاً همان مقدارهای $f$ را می‌گیرند و برد هر دو با برد $f$ برابر است.

ب) نادرست. تانژانت در $x = \frac{3\pi}{2}$ تعریف نشده است (مجانب قائم دارد) و این نقطه درون بازهٔ $(\pi, 2\pi)$ است. تانژانت در هر یک از بازه‌های $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ و $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ جداگانه صعودی است، اما در کل بازه نه. مثلاً:

پ) نادرست. پیوستگی، مشتق‌پذیری را نتیجه نمی‌دهد (عکس آن درست است: هر تابع مشتق‌پذیر، پیوسته است). نمودار $|x - 1|$ در $x = 1$ یک نقطهٔ گوشه‌دار دارد: شیب سمت چپ $-1$ و شیب سمت راست $+1$ است. چون مشتق چپ و راست برابر نیستند، تابع در $x = 1$ مشتق‌پذیر نیست.