سوال ۴ — سؤال ۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — مرداد ۱۴۰۳

$$D_{fog} = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\} = \{x \ge -1 \mid \sqrt{x + 1} \in \mathbb{R} - \{1\}\}$$ $$\sqrt{x + 1} \ne 1 \Rightarrow x \ne 0$$ $$D_{fog} = [-1, 0) \cup (0, +\infty) \quad \text{یا} \quad [-1, +\infty) - \{0\}$$

طبق تعریف، دامنهٔ $fog$ شامل $x$هایی است که دو شرط را با هم داشته باشند: $x$ در دامنهٔ $g$ باشد و $g(x)$ در دامنهٔ $f$ باشد.

$$D_{fog} = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\}$$

دامنهٔ $g$: عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد:

$$x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1 \Rightarrow D_g = [-1, +\infty)$$

دامنهٔ $f$: مخرج کسر نباید صفر شود:

$$x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1 \Rightarrow D_f = \mathbb{R} - \{1\}$$

شرط دوم: $g(x)$ باید در $D_f$ باشد، یعنی $g(x) \ne 1$:

$$\sqrt{x + 1} \ne 1 \Rightarrow x + 1 \ne 1 \Rightarrow x \ne 0$$

اشتراک دو شرط: $x \ge -1$ و $x \ne 0$؛ پس

$$D_{fog} = [-1, 0) \cup (0, +\infty) = [-1, +\infty) - \{0\}$$